旋转矩阵: 一个旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵, 即满足: $R^\tau R=I\qquad det(R)=1$¹

1. 对于二维笛卡尔坐标系下, 绕原点旋转: $$ R(\theta)= \begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta\\ sin\theta&cos\theta \end{bmatrix} $$ 对于任意点(x,y): $$ \begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta\\ sin\theta&cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} xcos\theta-ycos\theta\\ xsin\theta+ycos\theta \end{bmatrix} $$ 设(x,y)在对应极坐标下的表示为$(\phi,r)$: $$ \begin{bmatrix} xcos\theta-ycos\theta\\ xsin\theta+ycos\theta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} rcos\phi cos\theta-ysin\phi sin\theta\\ rcos\phi sin\theta+ysin\phi sin\theta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} rcos(\theta+\phi)\\ rsin(\theta+\phi) \end{bmatrix} $$ 对于在二维笛卡尔坐标下绕非原点的旋转则可先将目标同参考系中心平移至原点旋转后再将参考系逆平移回到原来的位置.
2. 对于三维坐标系下, 绕任意坐标轴旋转: $$ R_x(\theta)=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&cos\theta &-sin\theta\\ 0&sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}\quad R_y(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta&0&sin\theta\\ 0&1&0\\ -sin\theta&0&cos\theta \end{bmatrix}\quad R_z(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta&0\\ sin\theta&sin\theta&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} $$ 其余的旋转方式都可以通过上述三个方向上的旋转和平移(反平移)合成.